Bachelor und Master in M11

Algebraische Geometrie und kommutative Algebra

In der algebraischen Geometrie werden Systeme polynomieller Gleichungen studiert. Auf der einen Seite können diese vom Standpunkt der kommutativen Algebra betrachtet werden: die Gleichungen definieren ein Ideal in einem (Polynom-)Ring. Auf der anderen Seite bilden die Lösungen der Gleichungen ein geometrisches Objekt - eine algebraische Varietät, oder allgemeiner, ein Schema. Seit etwa 2000 Jahren ist das Zusammenspiel zwischen diesen beiden Standpunkten extrem erfolgreich. Beispielsweise liefert Hilberts Nullstellensatz eine Art Wörterbuch zwischen Algebra und Geometrie. Später hat Grothendieck dieses Wörterbuch formalisiert, was zur Theorie der Schemata führt. Diese Sprache der Schemata liefert einen einheitlichen Zugang zu Algebra, Geometrie, Zahlentheorie, Topologie und verbindet Konzepte aus vielen weit voneinander entfernten Bereichen der Mathematik.

In unserer Arbeitsgruppe werden zum Beispiel unter anderem die folgenden Aspekte studiert und gelehrt: Algebraische Flächen, Charakteristik-p-Geometrie, Invariantentheorie, das Langlandsprogramm, Shimuravarietäten...

Vorlesungen und Seminare

Nach den Grundvorlesungen Analysis und Lineare Algebra können Sie ab dem dritten Semester die folgenden Veranstaltungen hören, die Sie mit den Grundkonzepten der Algebra (Gruppen, Ringe, Körper, Galoistheorie) und der kommutativen Algebra (Moduln, Primideale, Lokalisierung, Dimension,...) vertraut machen:

Algebra 1 (MA 2101, im Wintersemester)

Algebra 2 - kommutative Algebra (MA 5120, im Sommersemester)

Wenn Sie eine Bachelorarbeit in unserer Gruppe schreiben wollen, sollten Sie neben diesen beiden Vorlesungen idealerweise mindestens eine weitere der folgenden Vorlesungen belegt oder an einem Seminar im Bereich Algebra teilgenommen haben. Für eine Masterarbeit sollten Sie idealerweise Vorkenntnisse im Umfang von mindestens zwei der folgenden Veranstaltungen mitbringen.

Algebraische Zahlentheorie (MA 5110)
Algebraic Geometry (MA 5107)
Computeralgebra (MA 3101)
Elliptische Kurven (MA 5114)
Linear Algebraic Groups (MA 5113)
Topology (MA 3241)

In jedem Semester werden wir mindestens eine dieser Veranstaltungen anbieten. Im kommenden Semester sind dies

Algebraic Geometry

Algebraic Number Theory - Local fields

und fortgeschrittener: Geometry of Quadratic Equations (John von Neumann - Lecture von Prof. I. Dolgachev)

 

Ergänzt werden diese durch Seminare. Hier sind ein paar Themen aus den vergangenen Semestern

Klassische Algebraische Geometrie
Lie-Algebren
Lineare algebraische Gruppen
Topologie

Ab Masterlevel gibt es Lesekurse, die von Doktoranden, Masterstudenten und PostDocs in unserer Arbeitsgruppe organisiert werden, so zum Beispiel zu den folgenden Themen

Lesekurs Algebraische Topologie
Lesekurse Komplexe Geometrie

Für Doktoranden und Postdocs gibt es jedes Semester dann noch die folgenden Veranstaltungen: 

ein Oberseminar zu einem aktuellen Thema der Forschung
die Bayrische Kleine AG, wo Doktoranden und PostDocs sich zwei Mal im Semester ein Thema erarbeiten
die AG Algebra, wo Gäste über ihre aktuelle Arbeit vortragen

Diese Veranstaltungen können Sie durch Veranstaltungen an der LMU ergänzen, wie etwa das dortige Oberseminar Arithmetische und Algebraische Geometrie oder den dortigen spezialisierten Vorlesungen.

Für weitere Informationen und Details können Sie uns kontaktieren oder in den Veranstaltungskalendern der aktuellen und vergangenen Semestern blättern.

Literatur

Wenn Sie schon mal einen Eindruck von diesen Themen bekommen wollen, sind hier ein paar Literaturempfehlungen:

Algebra 1S. Bosch: Algebra
Algebra 2M. Atiyah, I. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra
G. Kemper: A Course in Commutative Algebra
Algebraische GeometrieD. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes
R. Hartshorne: Algebraic Geometry
I. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry (2 Bände)