Videoanimationen und interaktive Apps
Video: Potenzreihe
Viele Funktionen werden über eine Potenzreihe definiert. Eine Potenzreihe ist ein Polynom mit unendlich vielen Summanden. In den folgenden Videos werden sukzessive immer mehr Summanden zu der Potenzreihe hinzugefügt und die resultierende Funktion wird visualisiert.
Video: Taylorreihe
Die Taylorentwicklung ist ein mächtiges Werkzeug, um eine beliebige Funktion in ein Polynom (eine sogenannte Taylorreihe) zu entwickeln. In den folgenden Videoanimationen wird für unterschiedliche Funktionen eine solche Taylorentwicklung sukszessive durchgeführt.
Video & App: Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen (ODEs)
Viele, insbesondere anwendungsrelevante, gewöhnliche Differenzialgleichungen lassen sich nicht analytisch lösen. Deshalb spielen die numerischen Lösungsverfahren für solche Differenzialgleichungen eine wichtige Rolle. Die folgenden Visualisierungen sollen die algorithmischen Eigenschaften von vier verschiedenen Lösungsverfahren verdeutlichen und dabei insbesondere den Unterschied zwischen impliziten und expliziten Verfahren hervorheben. In der App kann man viele verschiedene Parameterkombinationen selbst ausprobieren.
App: Stabilität von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs)
Systeme gewöhnliches Differenzialgleichungen (ODE Systeme) können verschiedene sogenannte kritische Punkte aufweisen. In der folgenden App kann man Richtungsfelder und kritischen Punkte für beliebige 2D Systeme untersuchen.
App: Randwertproblem mit Bisektion
Möchte man mit einer Kanone ein Ziel treffen, so steht man vor einem Randwertproblem. Solche Probleme lassen sich auf unterschiedliche Wege lösen: Der erfahrene Kanonier verwendet etwa das Bisektionsverfahren um seinen Abschusswinkel einzustellen, um möglichst wenige Versuche zu benötigen, um das Ziel zu treffen.
App: Extremwertbestimmung mit Lagrangemultiplikatoren
Mithilfe der Lagrange'schen Multiplilkatorenregel kann man Extremwerte unter Nebenbedingungen bestimmen. Die geometrische Interpretation dieser Rechenregel veranschaulicht die App.
App: Bogenlängenparametrisierung
Die Bogenlängenparametrisierung ist ein wichtiges Werkzeug bei der mathematischen Betrachtung von parametrisierten Kurven. Mit der folgenden App kann man beliebige Kurven plotten und diese unter der originalen Parametrisierung sowie unter Bogenlängenparametrisierung durchlaufen.
App: Leibnitz'sche Sektorformel
Die Leibnitz'sche Sektorformel ermöglicht die Flächenberechnenung einer Fläche, die von einem Fahrstrahl überstrichen wird, der entlang einer vorgegebenen Kurve wandert.
Video & App: Reelle Fourierreihe
Die Fourierreihe wird verwendet um beliebige periodische Funktionen durch eine Reihe trigonometrischer Funktionen anzunähern. In der Videoanimation sieht man verschiedene Phänomene, die bei Fourierreihe auftreten können. Gleichzeitig wird der analytische Ausdruck der Fourierreihe angezeigt.
Video & App: Faltung und gewöhnliche Differenzialgleichung
Die Faltung ist eine recht aufwändige mathematische Operation, deren Anwendung oft nicht ganz klar ist. Dennoch ist die Faltung unverzichtbar, wenn man zum Beispiel die Reaktion eines Masse-Feder-Dämpfer Systems auf eine aperiodische Anregung bestimmen möchte. So ein Szenario tritt beispielsweise auf, wenn ein Hochhaus der Belastung durch einen Erdbeben standhalten muss.
App: Numerik partieller Differenzialgleichungen (PDEs)
In der folgenden App kann man die Wärmeleitungsgleichung und die Wellengleichung numerisch lösen. Parameter wie Gitterweite (in Zeit und Ort), Anfangsbedingung und Zeitintegrationsverfahren lassen sich einstellen und dadurch kann man Phänomene wie Stabilität untersuchen.
App: Mandelbrot-Menge
Die Mandelbrot-Menge ist eine Menge aus dem Teilgebiet der Chaosforschung. Für die höhere Mathematik ist die Mandelbrot-Menge zwar nicht wirklich relevant, sieht jedoch trotzdem einfach toll aus und die Menge lässt sich mithilfe der interaktiven Anwendung beliebig untersuchen.
Interaktive Mathe Apps
Die interaktiven Mathe Apps wurden mithilfe der OpenSource Umgebung bokeh erstellt. Der Code zu den Apps kann auf folgendem Git Repository betrachtet und heruntergeladen werden.