Vorlesung

Algebraische Geometrie (MA5107)

Prof. Dr. Christian Liedtke

 

Zeit und Ort

Inhalt

In der algebraischen Geometrie werden Systeme polynomieller Gleichungen studiert. Auf der einen Seite können diese vom Standpunkt der kommutativen Algebra betrachtet werden: die Gleichungen definieren ein Ideal in einem (Polynom-)Ring. Auf der anderen Seite bilden die Lösungen der Gleichungen ein geometrisches Objekt - eine algebraische Varietät, oder allgemeiner, ein Schema. Seit etwa 2000 Jahren ist das Zusammenspiel zwischen diesen beiden Standpunkten extrem erfolgreich. Beispielsweise liefert Hilberts Nullstellensatz eine Art Wörterbuch zwischen Algebra und Geometrie. Später hat Grothendieck dieses Wörterbuch formalisiert, was zur Theorie der Schemata führt. Diese Sprache der Schemata liefert einen einheitlichen Zugang zu Algebra, Geometrie, Zahlentheorie, Topologie und verbindet Konzepte aus vielen weit voneinander entfernten Bereichen der Mathematik.

In der Vorlesung werde ich Schemata, Garben, affine und projektive Räume, Kurven, Differentiale, Aufblasungen und Singularitäten einführen und besprechen. 

Parallel und vertiefend zur Vorlesung gibt es ein Seminar zur klassischen algebraischen Geometrie, in dem vor allem Beispiele und klassische Konstruktionen behandelt werden.

Literatur

D. Eisenbud, J. Harris: The Geometry of Schemes
U. Görtz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I
R. Hartshorne: Algebraic Geometry
G. Kempf: Algebraic Varieties

Voraussetzungen

Algebra und Kommutative Algebra (Algebra 2)

Übungen

• Blatt 1
• Blatt 2
• Blatt 3
• Blatt 4
• Blatt 5
• Blatt 6
• Blatt 7
• Blatt 8
• Blatt 9
• Blatt 10
• Blatt 11
• Wiederholungsaufgaben

Lösungsskizzen

Dies sind (Teil)Lösungen der Übungsaufgaben, die zur Vorbereitung auf das Tutorium erstellt wurden und nie zur Veröffentlichung gedacht waren. Da sie nun doch hier zu finden sind, gilt: Benutzung auf eigene Gefahr!

• Lösung Blatt 1
• Lösung Blatt 2
• Lösung Blatt 3
• Lösung Blatt 4
• Lösung Blatt 5
• Lösung Blatt 6
• Lösung Blatt 7
• Lösung Blatt 8
• Lösung Blatt 9
• Lösung Blatt 10
• Lösung Blatt 11

Vorlesungsskizzen

Es handelt sich hierbei lediglich um die Skizzen, nach denen ich die Vorlesung halte. D.h., die Vorlesung wird mehr Details und Ausführungen als diese enthalten, und ich behalte mir vor, sowohl spontan Abschnitte hinzuzufügen, als auch wegzulassen. Diese Skizzen sind somit nur eine grobe Orientierung, und ich verweise an die Literaturliste für ausgearbeitete und fehlerkorrigierte Einführungen in die algebraische Geometrie

• Woche 1
• Woche 2
• Woche 3
• Woche 4
• Woche 5
• Woche 6
• Woche 7
• Woche 8
• Woche 9
• Woche 10
• Wochen 11 und 12
• Woche 13
• Woche 14
• Woche 15

Klausur

Sprechstunde