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Algebraische Geometrie, kommutative Algebra und algorithmische Algebra

In der algebraischen Geometrie werden Systeme polynomieller Gleichungen studiert. Auf der einen Seite können diese vom Standpunkt der kommutativen Algebra betrachtet werden: die Gleichungen definieren ein Ideal in einem (Polynom-)Ring. Auf der anderen Seite bilden die Lösungen der Gleichungen ein geometrisches Objekt - eine algebraische Varietät, oder allgemeiner, ein Schema. Seit etwa 2000 Jahren ist das Zusammenspiel zwischen diesen beiden Standpunkten extrem erfolgreich. Beispielsweise liefert Hilberts Nullstellensatz eine Art Wörterbuch zwischen Algebra und Geometrie.

In der Mitte des 20. Jahrhunderts hat Grothendieck dieses Wörterbuch formalisiert, was zur Theorie der Schemata führt. Diese Sprache der Schemata liefert einen einheitlichen Zugang zu Algebra, Geometrie, Zahlentheorie, Topologie und verbindet Konzepte aus vielen weit voneinander entfernten Bereichen der Mathematik.  

Etwa zur selben Zeit wurden Polynomideale und andere Objekte der algebraischen Geometrie auch der algorithmischen Berechnung zugänglich. Seitdem gibt es ein reiches Wechselspiel zwischen Theorie, Algorithmik und Experiment. Heute sind algorithmische Methoden wichtig in Geometrie, Zahlentheorie, Gruppen- und Darstellungstheorie.  

In unserer Arbeitsgruppe werden unter anderem die folgenden Aspekte studiert und gelehrt: Algebraische Flächen, Charakteristik-p-Geometrie, Invariantentheorie, das Langlandsprogramm, Shimuravarietäten, Darstellungstheorie ...

 

Studium in Algebra, Abschlussarbeiten